Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán THPT - Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp

Nội dung tài liệu: Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán THPT - Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp

1. TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG Tổ: TOÁN BÀI 3. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at b 0 trong đó ab, là các hằng số a 0 và t là một trong các hàm số lượng giác. Cách giải: đưa về phương trình lượng giác cơ bản. Ví dụ 1 Giải các phương trình sau: a) 2sinx 3 0. b) 8sinxx .cos .cos2 x 1 Lời giải: xk 2 3 3 a) Ta có 2sinxx 3 0 sin k . 2 xk 2 2 3 1 b) Ta có 8sinxx .cos .cos 2 x 1 4sin 2 x .cos 2 x 1 2sin 4 x 1 sin 4 x 2 42xk xk 2 6 24 k . 77 42xkxk 2 624 II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at2 bt c 0 trong đó abc,, là các hằng số a 0 và t là một trong các hàm số lượng giác. Cách giải: Bước 1: đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc 2: Dạng Đặt Điều kiện axbxcsin2 sin 0 tx sin 11t axbxccos2 cos 0 tx cos 11t axbxctan2 tan 0 tx tan axbxccot2 cot 0 tx cot Bước 2: Phương trình trở thành at2 bt c 0* . Giải tìm t , so điều kiện (nếu có), từ đó suy ra nghiệm x . Ví dụ 2 3 Phương trình cos2 2xx cos 2 0 có nghiệm là: 4 2 A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k . 6 6 3 3
2. Lời giải Đặt cos 2x t với điều kiện 11,t ta được 1 tn 2 3 2 tt 0 . 4 3 tl 2 1 Do đó cos 2x cos 2x cos 2x kx 2 kk , . 2336 Ví dụ 3 Cho phương trình cos 2xx sin 2 0 . Khi đặt tx sin , ta được phương trình nào dưới đây. A. 210tt2 . B. t 10. C. 230tt2 . D. 220tt2 . Lời giải Ta có: cos 2xx sin 2 0 12sin2 xx sin2 0 2sin2 xx sin 3 0. Đặt tx sin ta được phương trình: 230tt2 . Ví dụ 4 2 2017 2017 Phương trình 4 tanxx 5 tan 1 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ; ? 22 A. m 2017 . B. 4032 . C. m 4034 . D. m 2018. Lời giải tanx 1 xk 2 4 Ta có 4tanxx 5tan 1 0 1 k . tan x 1 4 x arctan k 4 2017 2017  Với x k k do x ; nên có 1008k 1008 . nên có 2017 nghiệm. 4 22 1 2017 2017  Với x arctan k k do x ; nên có 1008k 1008 nên có 2017 nghiệm và 4 22 hai họ nghiệm không có nghiệm nào trùng nhau. Vậy ta có 4034 nghiệm thuộc khoảng đã cho. Ví dụ 5 Khi đặt tx tan thì phương trình 2sin22x 3sinxx cos 2cos x 1 trở thành phương trình nào sau đây? A. 2310tt2 B. 3310tt2 C. 2330tt2 D. tt2 330 Lời giải Chọn D Do cosx 0 không thỏa mãn phương trình nên chia hai vế của phương trình cho cos2 x 0 , ta có 2 tan222xx 3tan 2 1 tan x tan xx 3tan 3 0 Đặt tx tan thì ta có phương trình tt2 330.
3. III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x Xét phương trình axbxcabsin cos 22 0 1 Bước 1: chia 2 vế của (1) cho ab22 , ta được ab c 1 scosinx x (2) ab22 ab 22 ab 22 ab Bước 2: Chọn sao cho: cos ; sin . ab22 ab 22 cc Khi đó: 2 sinx cos sin cosxx sin : phương trình cơ bản đã biết cách ab22 ab 22 giải. Ví dụ 6 Phương trình sinxx 3 cos 1 có tập nghiệm là   A.  kk ; , với k  . B.  kk2; 2 , với k  . 62 62  7 C.  kk2; 2 , với k  . D.  kk2; 2 , với k  . 62 62 Lời giải 131 Ta có sinxx 3 cos 1 sinxx cos sin x sin 22 2 36 xk 2 xk 2 36 6 k  . xk 2 xk 2 36 2 Ví dụ 7 Phương trình sinxx 3 cos 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc  2;2 . A. 5. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Ta có sinxx 3 cos 0 sin x 0 xkkZ , 3 3 75 Vì x 2;2 nên 22 xk. Do đó có 4 giá trị k , tương ứng có bốn nghiệm x . 33 Nh ậ n xét 1. Ta có công thức: axbxsin cos ab22 sin x . 2. Điều kiện có nghiệm của phương trình 1 : cab222
4. Ví dụ 8 Tìm số các giá trị nguyên của m để phương trình mxmcos 2 sin xm 2 1 0 có nghiệm. A. 0 B. 3 C. vô số D. 1 Lời giải Chọn D Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 22 33 mm2 221 m 230m2 m 22 Vậy có 1 giá trị nguyên. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1. (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Phương trình cos 2xx cos 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ; ? A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3. Câu 2. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S các nghiệm của phương xx trình (2cosx 5)(sin44 cos ) 3 0 trong khoảng 0; 2 22 11 5 7 A. S . B. S . C. S 2 . D. S . 12 2 12 Câu 3. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Giải phương trình sin 3xx cos3 2 . A. xkk , . B. xkk , . 3 63 2 2 C. xkk , . D. xkk , . 93 12 3 Câu 4. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 4sinxm+-() 4 cos xm - 2 += 5 0 có nghiệm là: A. 5 B. 6 C. 10 D. 3 Câu 5. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M sinxx++ 2 cos 1 của hàm số y = là sinxx++ cos 2 1 A. m =- ; M = 1 B. m = 1; M = 2 C. m =-2 ; M = 1 D. m =-1 ; M = 2 2 Câu 6. Số nghiệm của phương trình sin5x 3 cos5xx 2sin 7 trên khoảng 0; là? 2 A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Câu 7. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình 2sin2 xx 3 sin 2 3. 2 4 5 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 3 3 3 3
5. Câu 8. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình sin22xxxx 3 1 sin cos 3 cos 3 . 31 A. sin x 1. B. cosxx 1 tan 0 . 2 13 C. tanxx 2 3 cos2 1 0 . D. sinx 0. 1 Câu 9. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx cosxx 1 sin 2 là: 2 3 A. . B. . C. 2. D. . 2 2 Câu 10. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình sin 3xxx 4sin cos 2 0. k2 k x x xk 2 xk 3 2 A. B. C. D. 2 x k x k x k x k 3 6 3 4 Câu 11. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018)Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cosxxx cos 2 cos3 0 trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là A. 6 . B. 5. C. 4 . D. 2 . Câu 12. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos3xxx cos 2 9sin 4 0 trên khoảng 0;3 là 11 25 A. 5 . B. . C. . D. 6 . 3 6 Câu 13. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 1 8cot 2x sin66xx cos sin 4 x trên đường tròn lượng giác là : 2 A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 0 . 4 Câu 14. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Số nghiệm thuộc khoảng ; của phương trình 32 cos xxx 3 sin sin 3 là 2 A. 4 . B. 3. C. 6 . D. 2 . Câu 15. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Phương trình 1cos4sin2 x xx 3cos22 có tổng các nghiệm trong đoạn 0;  là: 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 3