Giáo án Toán 11 - Bài 3: Nhị thức Niu-Tơn

Nội dung tài liệu: Giáo án Toán 11 - Bài 3: Nhị thức Niu-Tơn

1. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT Bài 3. NHỊ THỨC NIU – TƠN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Công thức nhị thức Niu-tơn n n knkk 0 n 1 n 1 knkk nn 1 1 nn a b  Cn a b C n a C n a b ... C n a b ... C n ab C n b (1) k 0 Hệ quả: n0 1 n Với a b 1, thì ta có 2 CCn n ... C n . 0 1 kk n n Với a 1; b 1, ta có 0 CCn n ... 1 C n ... 1 C n Chú ý: Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1): a) Số các hạng tử là n 1 b) Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n ( quy ước a0 b 0 1 ) k nk c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau: Cn C n B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Khai triển biểu thức: a) a 2 b 5 b) 2x 3 4 Giải: 5 0514 2323234 455 a) a 2 b CaCabCab5 5 (2) 5 (2) Cab 5 (2) Cab 5 (2) Cb 5 (2) a510 a 4 b 40 a 3 b 2 80 a 2 b 3 160 ab 4 32 b 5 40 4 1 3 2 2 2 1 3 4 4 b) 23x CxCx4 2 4 23 Cx 4 23 Cx 4 23 C 4 (3) 16xx4 96 3 216 x 2 216 x 81 10 2 2 2 Ví dụ 2: Tìm hệ số của x trong khai triển của biểu thức x x Giải: k k210 k 2 kkk 20 3 Số hạng tổng quát của khai triển là: Cx10 Cx 10 2 x Số hạng chứa x2 tương ứng với 20 3k 2 k 6 6 6 Hệ số cần tìm là: 2C10 13440 12 1 2 Ví dụ 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 2x x Giải: 12 k k 1 2k kkk 3 12 Số hạng tổng quát của khai triển là: C12 2 xCx 10 2 x Số hạng không chứa x tương ứng với 3k 12 0 k 4 4 4 Vậy số hạng không chứa x là: 2 C12 Trang 1
2. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT Ví dụ 4: Biết hệ số của x2 trong khai triển của 1 3x n là 90. Hãy tìm n. Giải: kk kkk Số hạng tổng quát của khai triển là: Cn 3 x Cx n 3 Số hạng chứa x2 là C29 x 2 n 2, n * n  Theo giả thiết ta có : 2 2n! 2 n 5 9.Cn 90 C n 10 10 n ( n 1) 20 n n 20 0 2!(n 2)! n 4 So điều kiện ta được n = 5 50 Ví dụ 5: Từ khai triển biểu thức 3 x thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được Giải: 50 2 50 Khai triển thành đa thức: 3 x aaxax0 1 2 ... ax 50 (*) Tổng các hệ số : S a0 a 1 a 2 ... a 50 50 50 Thay x = 1 vào (*), ta được : 3 1 a0 a 1 a 2 ... a 50 S 4 C. BÀI TẬP I. TỰ LUẬN 10 Bài 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x16 trong khai triển x2 2 x 10 3 1 Bài 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: 2x 2 x 15 Bài 3. Tìm hệ số của số hạng chứa x25y10 trong khai triển x3 xy 8 3 x Bài 4. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển (2 5x ) 1 2 n 2 1 Bài 5. Cho biết trong khai triển x , tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 46. Tìm x số hạng không chứa x. n Bài 6. Biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển nhị thức x2 1 bằng 1024. Hãy tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển đó. Bài 7. Tính các tổng sau : 0 1 2 2 n n a) ACC n5 n 5 C n ... 5 C n 1 2 2 3 3 n n n b) B 1 2n 2 CC n 2 n ... ( 1) 2 C n 17 0 16 1 2 15 2 17 17 c) CC 317 4.3 C 17 4 .3 C 17 ... 4 C 17 II. TRẮC NGHIỆM Câu 1: Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển x 1 10 là 5 5 6 5 A. C10 x . B. C10 x . C. 252 . D. 210 . 15 9 4 3 Câu 2: Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3x là x 6 9 9 6 18 9 9 6 9 6 18 9 A. 3 C15 x . B. 3 2 C15 x . C. 3 C15 . D. 3 2 C15 . Câu 3: Trong bảng khai triển của nhị thức x y 11 , hệ số của x8 y 3 là: 8 3 7 8 3 A. C11 . B. C11 . C. C10 C 10 . D. C11 . Trang 2
3. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT Câu 4: Tổng của số hạng thứ 4 trong khai triển 5a 1 5 và số hạng thứ 5 trong khai triển 2a 3 6 là: A. 4160a2 . B. 4610a2 . C. 4610a2 . D. 4620a2 . 100 1 100 Câu 5: Trong khai triển x 2 aax0 1 ... ax 100 . Hệ số a97 là: 97 97 98 98 A. 1.293.600. B. −1.293.600. C. 2 C100 . D. 2 C100 . n 2 1 Câu 6: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x 3 biết n là số nguyên dương thỏa mãn x 1 3 Cn C n 13 n . 6 5 10 3 A. C10 . B. C10 . C. C10 . D. C10 . n 2 n Câu 7: Giả sử có khai triển 1 2x a0 axax 1 2 ... axn . Tìm a5 biết a0 a 1 a 2 71. 5 5 A. 672x . B. 672 . C. 672x . D. 672 . 0 1 2 2 100 100 Câu 8: Tính tổng SCC 1005 100 5 C 100 ... 5 C 100 100 100 300 200 A. 6 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Câu 9: Đẳng thức nào sau đây sai? A. 2n CCC0 1 2 ... C n . n n n n B. 0 CCC0 1 2 ... 1 n C n . n n n n C. 1 CCC0 2 1 4 2 ... 2 n C n . n n n n D. 3n CCC0 2 1 4 2 ... 2 n C n . n n n n Câu 10: Khai triển 2x y 5 ta được kết quả là A. 5 4 3 2 2 3 4 5 . 32x 16 xy 8 xy 4 xy 2 xy y B. 5 4 3 2 2 3 4 5 . 32x 80 xy 80 xy 40 xy 10 xyy C. 5 4 3 2 2 3 4 5 . 2x 10 xy 20 xy 20 xy 10 xyy D. 32x5 10000 xy 4 8000 xy 3 2 400 xy 2 3 10 xyy 4 5 . 0 1 2 2 2 n Câu 11: Giá trị của n thỏa mãn CCCn 2 n 2 n ... 2 C n 243. là A. n 7 . B. n 3. C. n 5. D. n 4 . Câu 12: Hệ số lớn nhất trong khai triển x 2 10 là 5 3 A. C10 . B. 128 . C. 15360 . D. C10 . Trang 3