Giáo án Toán 10 - Bài 3: Tích hợp của Vectơ với một số

Nội dung tài liệu: Giáo án Toán 10 - Bài 3: Tích hợp của Vectơ với một số

1. HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG I. VECTƠ Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Cho số k 0 và a 0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là ka , cùng hướng với a nếu k 0 , ngược hướng với a nếu k 0 và có độ dài bằng k a . Quy ước: 0a 0 và k0 0 2. Tính chất : Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có k a b k a k b ; h k a h a k a ; h k a hk a ; 1.a a , 1 . a a . 3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác    a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có: MA MB 2 MI .     b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có : GA GB GC 3 MG . 4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b b 0 cùng phương là có một số k để a k b .   Nhận xét: Ba điểm phân biệt A,, BC thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB kAC . 5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho x h a k b. B. MỘT SỐ VÍ DỤ   Ví dụ 1: Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA a. Tính 2OA OB . C Giải: Gọi C là điểm đối xứng của O qua A OC 2 a . Tam giác OBC vuông tại O, có BC OB2 OC 2 a 5. A      Ta có 2OA OB OC OB BC ,    suy ra 2OA OB BC a 5. O B Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng:    a) AC BD 2 IJ B     I b) OA OB OC OD 0 A      c) MA MB MC MD 4 MO , với M là điểm tùy ý. Giải: O    a) AC BD 2 IJ Theo quy tắc ba điểm ta có D C       J AC AI IJ AI IJ JC Trang 1
2. HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG I. VECTƠ     Tương tự BD BI IJ JD     Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên AI BI0, JC JD 0         Vậy AC BD AI BI JC JD 2 IJ 2 IJ (đpcm)     b) OA OB OC OD 0       Theo hệ thức trung điểm ta có OA OB2 OIOC , OD 2 OJ   Mặt khác O là trung điểm IJ nên OI OJ 0       Suy ra OA OB OC OD2 OI OJ 0 (đpcm)      c) MA MB MC MD 4 MO , với M là điểm tùy ý.     Theo câu b ta có OA OB OC OD 0 do đó với mọi điểm M thì     OA OB OC OD 0         OM MA OM MA OM MA OM MA 0      MA MB MC MD 4 MO (đpcm)   Ví dụ 3: Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết 2MA 3 MB 0 Giải:   Ta có 2MA 3 MB 0 A B M    2MA 3 MA AB 0   AM 3 AB M nằm trên tia AB và AM 3 AB   Ví dụ 4: Cho tam giác ABC . Đặt a ABb, AC .  1    a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: AM ABCN, 2 BC 3    b) Hãy phân tích CM, AN , MN theo các véc tơ a và b .   c) Gọi I là điểm thỏa: MI CM . Chứng minh I,, AN thẳng hàng Giải:  1    a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: AM ABCN, 2 BC 3 A  1  1   Vì AM AB suy ra M thuộc cạnh AB và AM AB ; CN 2 BC , M 3 3 suy ra N thuộc tia BC và CN 2 BC .    b) Hãy phân tích CM, AN , MN theo các véc tơ a và b . B C N     1  1 a có: CM CAAM AC AB ab 3 3         AN ABBN AB3 BC AB 3( AC AB ) 2 a 3 b    1 7 MNMAAN a 2 ab 3 ab 3 . 3 3   c) Gọi I là điểm thỏa: MI CM . Chứng minh I,, AN thẳng hàng    1   1 1 1 Ta có: AIAMMI ABCM a ab(2 a 3) b 3 3 3 3  1  AI AN A, I, N thẳng hàng. 3 Trang 2
3. HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG I. VECTƠ Ví dụ 5: Cho lục giác ABCDEF . Gọi MNPQRS,,,,, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,,,,, BC CD DE EF FA . Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Giải:    Gọi G là trọng tâm của MPR suy ra GM GP GR 0 (*)          C Mặt khác 2GM GA GB , 2GP GC GD , 2GR GE GF . B N          2(GM GP GR ) GA GB GC GD GE GF M P Kết hợp với (*) ta được A       GA GB GC GD GE GF 0 D       S Q (GA GF ) ( GB GC ) ( GD GE ) 0    F R E 2GS 2 GN 2 GQ 0    GS GN GQ 0 Suy ra G là trọng tâm của SNQ . Vậy MPR và SNQ có cùng trọng tâm.     Ví dụ 6: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện MA MB MA MC Giải: Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC       suy ra: MA MB 2 ME và MA MC 2 MF     Khi đó MA MB MA MC   2ME 2 MF ME MF Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF. B. BÀI TẬP I. TỰ LUẬN     Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB 2 AC AD 3 AC . Bài 2. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM . Chứng minh rằng:    a) 2DA DB DC 0     b) 2OA OB OC 4 OD , Với O là điểm tùy ý.     Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GB GC GD 0  Bài 4. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai   vectơ u AB, v AC .     Bài 5. Cho tam giác ABC.Gọi I, J là hai điểm xác định bởi IA 2 IB , 3 JA 2 JC 0    a) Tính IJ theo AB và AC . b) Chứng minh rằng: đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC Bài 6. Cho tam giác ABC đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác. Hạ MD, ME, MF tương ứng vuông góc    3  với BC, CA, AB. Chứng minh rằng: MD ME MF MO 2 Bài 7. Cho tứ giác ABCD .    a)Xác định điểm O sao cho : OB 4 OC 2 OD .     b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức MB 4 MC 2 MD 3 MA Trang 3
4. HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG I. VECTƠ    Bài 8. Cho 4 điểm A, B, C, D; I là trung điểm AB và J thuộc CD thoả mãn AD BC 2 IJ . Chứng minh J là trung điểm của CD. II. TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA a. Khẳng định nào sau đây sai ?     A. 3OA 4 OB 5. a B. 2OA 3 OB 5. a     C. 7OA 2 OB 5. a D. 11OA 6 OB 5. a Câu 2. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ?  1    1   A. AI AB AC . B. AI AB AC . 4 4  1  1   1  1  C. AI AB AC. D. AI AB AC. 4 2 4 2 Câu 3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giácABC. Khẳng định nào sau đây đúng ?  2    1   A. AG AB AC . B. AG AB AC . 3 3  1  2   2   C. AG AB AC. D. AI AB 3 AC . 3 2 3     Câu 4. Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho 3AM 2 AB và 3DN 2. DC    Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC .  1  1   1  2  A. MN AD BC. B. MN AD BC. 3 3 3 3  1  2   2  1  C. MN AD BC. D. MN AD BC. 3 3 3 3 Câu 5. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng ?  1    1   A. DM CD BC. B. DM CD BC. 2 2  1    1   C. DM DC BC. D. DM DC BC. 2 2 Câu 6. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3 AM AB và N là trung điểm của AC. Tính    MN theo AB và AC.  1  1   1  1  A. MN AC AB. B. MN AC AB. 2 3 2 3  1  1   1  1  C. MN AB AC. D. MN AC AB. 2 3 2 3    Câu 7. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM và BC.   1    1  A. AB AM BC. B. AB BC AM. 2 2   1    1  C. AB AM BC. D. AB BC AM. 2 2 Câu 8. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC 2 NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó  1  1   1  1  A. AK AB AC. B. AK AB AC. 6 4 4 6  1  1   1  1  C. AK AB AC. D. AK AB AC. 4 6 6 4    Câu 9. Cho hình bình hành ABCD. Tính AB theo AC và BD. Trang 4
5. HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG I. VECTƠ  1  1   1  1  A. AB AC BD. B. AB AC BD. 2 2 2 2   1   1   C. AB AM BC. D. AB AC BD. 2 2   Câu 10. Cho tam giác ABC và đặt a BC, b AC . Cặp vectơ nào sau đây cùng phương? A. 2a ba , 2. b B. 2aba , 2. b C. 5ab ,10 ab 2. D. a ba, b . Câu 11. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC. Đẳng thức nào sau đây đúng ?    1  A. GA2 GI . B. IG IA. 3       C. GB GC 2 GI . D. GB GC GA. Câu 12. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây sai ?  2     A. GA AM. B. AB AC3 AG . 3       C. GA BG CG. D. GB GC GM. Câu 13. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau đây đúng ?      A. AM MB MC. B. MB MC.     BC C. MB MC. D. AM . 2 Câu 14. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khẳng định nào sau đây sai?     A. AB 2 AM . B. AC 2 NC .    1  C. BC2 MN . D. CN AC. 2 Câu 15. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây đúng ?   2     A. AB AC AG. B. BA BC3 BG . 3       C. CA CB CG. D. AB AC BC 0. Câu 16. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng ?           A. 2MA MB 3 MC AC 2. BC B. 2MA MB 32 MC AC BC .           C. 2MA MB 32 MC CA CB . D. 2MA MB 32. MC CB CA Câu 17. Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai ?      1  A. AB AD 2 AO . B. AD DO CA. 2   1     C. OA OB CB. D. AC DB2 AB . 2 Câu 18. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng ?       A. AC BD 2 BC . B. AC BC AB.       C. AC BD 2 CD . D. AC AD CD. Câu 19. Cho hình bình hành ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo. Mệnh đề nào sau đây sai ?       A. AB BC AC. B. AB AD AC.        C. BA BC 2 BM . D. MA MB MC MD.    Câu 20. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2MA MB CA . Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. M trùng A. B. M trùng B. C. M trùng C. D. M là trọng tâm của tam giác ABC.    Câu 21. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đặt GA aGB, b . Hãy tìm m, n để có BC ma nb. A. m 1, n 2. B. m 1, n 2. C. m 2, n 1. D. m 2, n 1. Trang 5
6. HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG I. VECTƠ Câu 22. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm M thỏa mãn     đẳng thức MA MB MA MB là AB A. đường tròn tâm I, đường kính . B. đường tròn đường kính AB. 2 C. đường trung trực của đoạn thẳng AB. D. đường trung trực đoạn thẳng IA. Câu 23. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm M thỏa mãn     đẳng thức 2MA MB MA 2 MB là A. đường trung trực của đoạn thẳng AB. B. đường tròn đường kính AB. C. đường trung trực đoạn thẳng IA. D. đường tròn tâm A, bán kính AB. Câu 24. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức      2MA 3 MB 4 MC MB MA là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a. a a a a A. R . B. R . C. R . D. R . 3 9 2 6    Câu 25. Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn MA MB MC 3 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Trang 6