Giáo án Toán 12 - Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Nội dung tài liệu: Giáo án Toán 12 - Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

1. CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM Nhắc lại 1. Quy tắc tính đạo hàm ➢(u v)' u ' v' ➢(uv)' u 'v v'u (ku)' ku ' ,k ¡ / u u 'v v'u 1 v ➢ 2 2 . v v v v 2. Công thức đạo hàm của các hàm sơ cấp Hàm sơ cấp Hàm hợp xn nxn 1 un nun 1.u '. 1 u ' x u 2 x 2 u sin x cos x sinu u '.cosu . cos x sin x cosu u '.sinu . 1 2 u ' 2 tan x 2 tan x 1 tanu 2 u ' tan u 1 . cos x cos u 1 2 u ' 2 co t x 2 cot x 1 . co t u 2 u '. cot u 1 sin x sin u . Tóm tắt lý thuyết §1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. Tính đơn điệu của hàm số: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trong khoảng K. Thế thì: ✓ f ’(x) > 0, x K f (x) đồng biến trong khoảng K ✓ f ’(x) < 0, x K f (x) nghịch biến trong khoảng K Trang 1
2. Mở rộng:Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trong khoảng K. Thế thì: ➢ f ’(x) 0, x K f (x) đồng biến trong khoảng K ➢ f ’(x) 0, x K f (x) nghịch biến trong khoảng K . ➢ Dấu “ =” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm. ➢ ➢ Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng gọi là hàm số đơn điệu. ➢ Quy tắc : ✓ Tìm tập xác định ✓ Tính đạo hàm f ’(x).Tìm các điểm xi làm cho đạo hàm triệt tiêu hoặc vô nghĩa. ✓ Lập bảng biến thiên của hàm số. ✓ Dựa vào bảng biến thiên kết luận về tính tăng giảm của hàm số. ❖ Ý nghĩa hình học của hàm đơn điệu. - Hàm tăng trong khoảng K thì tại mọi điểm thuộc khoảng K tiếp tuyến đổ sang bên phải Trang 2
3. - Hàm giảm trong khoảng K thì tại mọi điểm thuộc khoảng K tiếp tuyến đổ sang bên trái. . - Hàm số có thể tăng trong vùng này, giảm trong vùng kia. A. Bài tập tự luận Bài 1. Tìm khoảng đơn điệu các hàm số sau: 1 a/ y x2 3x 4 b/ y x3 3x2 8x 2 c/ y x4 2x2 3 3 3x 1 x2 2x x d/ y e/ y f/ y 1 x x 1 x2 4 Giải: a) y x2 3x 4 . Ta có D = ¡ 3 y ' 2x 3 y ' 0 x ✓ 2 ✓ Bảng biến thiên : Trang 3
4. 3 3 Hàm tăng trong khoảng ; , giảm trong khoảng ; 2 2 1 b) y x3 3x2 8x 2 3 Ta có D = ¡ 2 ✓ y ' x 6x 8 y ' 0 x1 2, x2 4 ✓ Bảng biến thiên : Hàm giảm trong khoảng (2;4), tăng trong khoảng (– ;2) và (4;+ ) c) y x4 2x2 3 Ta có D = ¡ 3 ✓ y ' 4x 4x y ' 0 x1 1, x2 0, x3 1 ✓ Bảng biến thiên : Trang 4
5. Hàm giảm trong khoảng (– ;–1) và (0;1), tăng trong khoảng (–1;0) và (1;+ ) ' 3x 1 3x 1 ax b ad bc d) y 2 1 x x 1 cx d cx d Ta có D = ¡ \{1} 4 y ' 0, x 1 ✓ 2  x 1 Mặt khác lim f (x) 3, lim f (x) 3 và lim f (x) , lim f (x) ✓ x x x 1 x 1 ✓ Bảng biến thiên : Hàm tăng trong các khoảng (– ;1) và (1;+ ) . Trang 5
6. x2 2x e) y x 1 Ta có D = ¡ \{1} x2 2x 2 y ' y ' 0 x 1 3, x 1 3 ✓ 2 1 2 x 1 Mặt khác lim f (x) , lim f (x) và lim f (x) , lim f (x) ✓ x x x 1 x 1 ✓ Bảng biến thiên : Hàm tăng trong các khoảng (– ;1 3 ) và (1 3 ;+ ) và giảm trong các khoảng (1 3 ;1) và (1;1 3 ) x f) y x2 4 Ta có D = ¡ x2 4 y ' y ' 0 x 2, x 2 ✓ 2 1 2 x2 4 Mặt khác lim f (x) 0 ✓ x ✓ Bảng biến thiên : Trang 6
7. Hàm giảm trong các khoảng (– ; –2) và (2;+ ) và tăng trong khoảng (–2;2) . Bài 2 Tìm khoảng đơn điệu của hàm y 2x x2 Giải : Ta có D = [0 ;2] 1 x y ' y ' 0 x 1 2x x2 Bảng biến thiên Bài 3. Tìm a để hàm : y x3 ax2 x 1 a) Đồng biến x ¡ b) Nghịch biến trên khoảng (1;2) Giải : Ta có D = ¡ , y ' f '(x) 3x2 2ax 1 3 0 2 a) Hàm đồng biến x ¡ y ' 0,x ¡ ' 0 a 3 0 3 a 3 ' 0 Trang 7
8. b) Nghịch biến trên khoảng (1;2) y ' 0,x (1;2) . Theo ycbt nếu gọi S là tập nghiệm của y ' 0 thì (1;2)  S. Muốn vậy ta xét 2 trường hợp : Cách 1 : (lớp 10) a 3 0 TH1 : S = ¡ thì y ' 0,x ¡ a  ' 0 TH2 : S [x1; x2 ] thì để (1;2)  S ta cần có x1 1 2 x2 Vì a = 3 > 0 nên 2 a 0 f '(1) 0 4 2a 0 13 y ' 0,x (1;2) 13 a x1 1 2 x2 f '(2) 0 13 4a 0 a 4 4 13 Hội 2 kết quả của 2 trường hợp ta suy ra a 4 3x2 1 1 1 Cách 2 : (lớp 12) ycbt f '(x) 0 2a 3x 2a,x (1;2) max 3x 2a,x (1;2) x x x 1 1 Xét hàm g(x) 3x trên khoảng (1;2), ta có g '(x) 3 0,x (1;2) x x2 Bảng biến thiên của g(x) 13 Dựa vào bbt ta thấy g(x) ,x (1;2) 2 Trang 8
9. 13 13 Vậy ta phải có 2a a 2 4 Bài 4. Tìm a để hàm : y ax3 3x2 3x 2 nghịch biến x ¡ Giải : Ta có D = ¡ , y ' f '(x) 3ax2 6x 3 1 Xét a = 0 y 3x2 3x 2 y ' 6x 3 y ' 0 x ✓ 2 2 ✓ Xét a 0 y ' f '(x) 3ax 6x 3 có ' 9 9a 3a 0 a 0 a 0 Theo ycbt y ' 0 ,x ¡ a 1 ' 0 9 9a 0 a 1 Bài 5. Tìm điều kiện của a, b để hàm y asin x bcos x x đồng biến trên ¡ Giải: Hàm đồng biến trên ¡ y ' 0,x ¡ y ' acos x bsin x 1 0,x ¡ Ta cần tìm a, b để GTNN của acos x bsin x 1 lớn hơn hoặc bằng 0. Vì acos x bsin x (a2 b2 )(cos2 x sin2 x) a2 b2 a2 b2 acos x bsin x a2 b2 1 a2 b2 acos x bsin x 1 1 a2 b2 Vậy acos x bsin x 1 min 1 a2 b2 0 a2 b2 1 Trang 9
10. Cách khác. Áp dụng công thức đã biết 2 2 a b acos x bsin x a b cos(x ) với cos ;sin a2 b2 a2 b2 Ta có : acos x bsin x 1 a2 b2 cos(x ) 1 2 2 2 2 Vì cos(x + ) –1 nên a b cos(x ) 1 a b 1 Từ đó a2 b2 1 0 a2 b2 1 mx 4 Bài 6. Cho hàm y x m a) Tìm m để hàm tăng trên từng khoảng xác định (m < –2  2 < m) b) Tìm m để hàm tăng trên khoảng (2, + ) (m > 2 ) c) Tìm m để hàm giảm trên khoảng (– ,1) ( –2 < m – 1). Giải: TXĐ D = R \{ m} m2 4 ✓ y ' x m 2 • Nếu m = 2 thì y là hàm hằng nên hàm không thỏa ycbt. • Xét m 2 a) Để hàm tăng trên từng khoảng xác định thì y ' 0,x m m2 4 0 m 2  m 2 b) Để hàm tăng trên khoảng (2;+ ) ta cần phải có y ' 0,x 2 Nghĩa là tập nghiệm của bpt y’ > 0 chứa khoảng (2;+ ) (2;+ )  (– ;– m)(– m;+ ) Lúc này ta có bảng biến thiên Trang 10
11. Mà tập nghiệm trong trường hợp này là (– ;– m)  (–m;+ ) m2 4 0 Ta có y ' 0,x 2 m 2 m 2 c) Để hàm giảm trên khoảng (– ;1) ta cần phải có y ' 0,x 1 Nghĩa là tập nghiệm của bpt y’ < 0 chứa khoảng (– ;1) (– ;1)  (– ;– m)(– m;+ ) Lúc này ta có bảng biến thiên m2 4 0 Ta có y ' 0,x 1 2 m 1 m 1 Trang 11
12. Bài 7. Cho hàm y = f(x) có đồ thị f x như hình vẽ bên. Hàm số y = f(3 – 2x) + 2022 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? A. (1;2). B.(2;+ ). C.( ;1). D. ( 1;1). HD: Dựa vào đồ thị f x ta nhận thấy f x 0 khi x ( ; 1)  (1;4). Vì (1;2)  (1;4) nên chọn A. Bài 7. Chứng minh các bất đẳng thức sau x 0; : 2 x3 a) tan x x b) tan x x 3 HD: Để chứng minh: f (x) g(x),x T Ta xét hàm h(x) f (x) g(x) trên T. Xét tính đơn điệu của hàm h(x) trên T Suy ra h(x) 0,x T a) Trang 12
13. Xét hàm h(x) tan x x trên khoảng 0; . 2 2 2 Ta có: h(x) (tan x 1) 1 tan x 0 ,x 0; 2 Suy ra hàm h(x) tan x x đồng biến trên khoảng 0; . 2 Nên x 0; : h(0) h(x) h h(x) h(0) 0 2 2 Hay tan x x ,x 0; . 2 x3 x3 b) tan x x tan x x 0 3 3 x3 Xét hàm h(x) tan x x trên khoảng 0; . 3 2 2 2 Ta có: h (x) tan x x , trên khoảng 0; h (x) tan x x tan x x 2 Ta nhận thấy x 0; thì x > 0; tanx > 0 2 Hơn nữa theo câu a thì tan x x ,x 0; . Do đó h (x) 0,x 0; 2 2 Suy ra hàm h(x) là hàm đồng biến trên khoảng 0; . 2 Nên x 0; : h(0) h(x) h h(x) h(0) 0 2 2 x3 Hay tan x x ,x 0; . 3 2 c) sin x x ; Trang 13