Giáo án Toán 12 - Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Nội dung tài liệu: Giáo án Toán 12 - Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1. §5.KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I.Sơ đồ khảo sát hàm số 1.Tập xác định Tìm tập xác định của hàm số . 2.Sự biến thiên Xét chiều biến thiên của hàm số: + Tính đạo hàm y ' ; +Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc đạo hàm không xác định; +Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số . Cực trị . Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực, đường tiệm cận nếu có. Lập bảng biến thiên. 3.Đồ thị Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố ở trên để vẽ II.Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức 1.Hàm số bậc ba y ax32 bx cx d a 0 . Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba 1
2. 2.Hàm số Các dạng đồ thị của hàm số 3.Hàm số Các dạng đồ thị của hàm số II. Sự tương giao đồ thị Phương pháp: Cho hàm số y f() x và y g() x có đồ thị tương ứng là ()C và (C ') . Khi đó số nghiệm của phương trình f() x g x bằng số giao điểm của hai đồ thị và . III. Các dạng toán 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Câu 1. Khảo sát sự biến và vẽ đồ thị hàm số sau 2
3. a) y x32 34 x b) y x32 3 x 3 x 1 32 32 c) y x 6 x 11 x 6 d) y x 3 x 4 x 2 Lời giải a) Tập xác định D . y' 3 x2 6 x ; x 0 y '0 x 2 Các giới hạn tại vô cực 34 limyx lim3 1 xx 3 xx 34 limyx lim3 1 xx 3 xx Bảng biến thiên Sự biến thiên Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;2 và 0; . Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0 . Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x 2 , giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiêu tại x 0 , giá trị cực đại . Đồ thị 32 x 2 Ta có xx 3 4 0 . x 1 Giao điểm của đồ thị với trục hoành 2;0 và 1;0 . Giao điểm của đồ thị với trục tung 0;4 Đồ thị có tâm đối xứng là điểm I 1; 2 với hoành độ điểm I là nghiệm của phương trình y '' 0 . 3
4. D b) y x32 3 x 3 x 2 Tập xác định . y' 3 x2 6 x 3 ; yx' 0 1 Các giới hạn tại vô cực 3 3 2 limyx lim3 1 xx 23 x x x 3 3 2 limyx lim3 1 xx 23 x x x Bảng biến thiên 1 Sự biến thiên Hàm số đồng biến trên . Cực trị Hàm số không có cực trị Đồ thị Ta có x32 3 x 3 x 2 0 x 2. Giao điểm của đồ thị với trục hoành 2;0 . Giao điểm của đồ thị với trục tung 0; 2 4
5. Đồ thị có tâm đối xứng là điểm I 1; 1 với hoành độ điểm I là nghiệm của phương trình . D 32 c) y x 3 x 9 x 1 Tập xác định . y' 3 x2 6 x 9 ; x 3 y '0 x 1 Các giới hạn tại vô cực 3 9 1 limyx lim3 1 xx 23 x x x 3 9 1 limyx lim3 1 xx 23 x x x Bảng biến thiên x 0 Sự biến thiên Hàm số đồng biến khoảng 1;2 . Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1; . Cực trị Hàm số đạt cực tiêu tại x 1, giá trị cực đại . y '' 0 Hàm số đạt cực tiêu tại , giá trị cực đại . 5
6. Đồ thị Giao điểm của đồ thị với trục tung 0;3 y x32 3 x 4 x 2 33 Đồ thị có tâm đối xứng là điểm I ; với hoành độ điểm I là nghiệm của phương trình . 22 D d) Tập xác định . y' 3 x2 6 x 4 0,  x ; Giới hạn tại vô cực 3 4 2 limyx lim3 1 xx 23 x x x 3 4 2 limyx lim3 1 xx 23 x x x Bảng biến thiên y '' 0 Hàm số nghịch biến trên 6
7. Hàm số không có cực trị Đồ thị Giao điểm với trục hoành 1;0 Giao điểm với trục tung 0;2 Đồ thị nhận I D 1;0 là tâm đối xứng. Câu 2. Khảo sát sự biến và vẽ đồ thị hàm số sau 13 a) y x42 23 x b) y x42 x 22 Giải a) Tập xác định . y' 4 x3 4 x 4 ; x 1 yx' 0 0 x 1 Giới hạn tại vô cực 23 limyx lim4 1 xx 24 xx 23 limyx lim4 1 xx 24 xx Bảng biến thiên 7
8. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;1 và 0;1 . D Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 1;0 và 1; . Hàm số đạt cực đại tại x 0 , giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiệu tại hai điểm x 1 và x 1, giá trị cực tiểu Đồ thị Giao điểm với trục hoành 3;0 và 3;0 Giao điểm với trục tung 0; 3 Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. 13 y x42 x 22 b) Tập xác định . y' 2 x3 2 x ; yx' 0 0 Giới hạn tại vô cực 1 1 3 limyx lim 4 xx 24 22xx 1 1 3 limyx lim 4 xx 24 22xx Bảng biến thiên 8
9. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 . Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . Hàm số đạt cực đại tại x 1 , giá trị cực đại . Đồ thị Giao điểm với trục hoành 1;0 và 1;0 . 3 Giao điểm với trục tung 0; . 2 Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. 3.Hàm số Các dạng đồ thị của hàm số Câu 3. Khảo sát sự biến và vẽ đồ thị hàm số sau 9
10. x 2 x 2 a) y b) y x 1 21x Giải a) Tập xác định D \1 . 3 yx 0,  1 ; x 1 2 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và 1; . Hàm số không có cực trị. Giới hạn x 2 limy lim xx 11 x 1 x 2 limy lim xx 11 x 1 Đường thẳng x 1 là đường tiệm cận đứng. x 2 limy lim 1 xx x 1 x 2 limy lim 1 xx x 1 Đường thẳng y 1 là đường tiệm cận ngang. Bảng biến thiên Đồ thị Đồ thị cắt trục tung tại điểm 0;2 và cắt trục hoành tại điểm 2;0 . Đồ thị nhận điểm I 1; 1 làm tâm đối xứng ( với điểm I là giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. 10
11. x 2 y 21x D \1  b) Tập xác định . 51 yx 0,  ; 21x 2 2 1 1 Hàm số đồng biến trên từng khoảng ; và ; . 2 2 Hàm số không có cực trị. Giới hạn x 2 limy lim 11 2x 1 xx 22 x 2 liim y l m 11 2x 1 xx 22 1 Đường thẳng x là đường tiệm cận đứng. 2 x 2 1 limy lim xx 21x 2 x 2 1 limy lim xx 21x 2 1 Đường thẳng y là đường tiệm cận ngang. 2 Bảng biến thiên 11
12. Đồ thị Đồ thị cắt trxụ c 0tung tại điểm 0; 2 và cắt trục hoành tại điểm . y '0 x 2 11 Đồ thị nhận điểm I ; làm tâm đối xứng ( với điểm I là giao điểm của hai đường tiệm cận đứng 22 và tiệm cận ngang. 2. Sự tương giao của đồ thị Câu 4. a)Vẽ đồ thị của hàm số y x32 32 x . b)Sử dụng đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình x32 32 x m (*). Lời giải a) y' 3 x2 6 x 2;0 Đồ thị có điểm cực đại là 2;2 và điểm cực tiểu 0; 2 . Đồ thị hàm số được biểu diễn như hình sau 12
13. b)Số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung của hai đồ thị hàm số và đường thẳng ym . Dựa vào đồ thị , ta được m 2 : Phương trình (*) có một nghiệm. m 2 : Phương trình (*) có hai nghiệm. 22 m : Phương trình (*) có ba nghiệm. m 2: Phương trình (*) có hai nghiệm m 2 : Phương trình (*) có một nghiệm.  Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc ba Câu 5. ố giao điểm của đồ thị hàm số y x3 x 4 với đường thẳng y 4 là. A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn C Ta có phương trình hoành độ giao điểm: 3332 x 0 x x 4 4 x y x x0 32 x . x 1 Nên số giao điểm là 3. Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y x3 32 x cắt đường thẳng ym 1 tại 3 điểm phân biệt.. A. 15 m . B. 04 m . C. 15 m . D. 15 m . Lời giải Chọn C Xét hàm y f( x ) x3 3 x 2 trên . Ta có f ( x ) 3 x22 3 3( x 1) . f ( x ) 0 x 1. Bảng biến thiên: 13
14. . Đường thẳng là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành cắt trục tung tại điểm m 1. Từ bảng biến thiên suy ra đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi 0 mm 1 4 1 5. Câu 7. Biết đường thẳng y mx 1 cắt đồ thị hàm số y x3 31 x tại ba điểm phân biệt. Tất cả các giá trị thực của tham số m là. A. m 3 . B. m 3 . C. m 3 . D. m 3 . Lời giải Chọn D x 0 33 PT HĐGĐ: x 3 x 1 mx 1 x m 3 x 0 2 . xm 3 Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt có 3 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác 0 mm 3 0 3. 32 Câu 8. Cho đồ thị hàm số Cm : y x 2 x 1 m x m. Tất cả giá trị của tham số m để Cm cắt 222 trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1,, x 2 x 3 thỏa xxx1 2 3 4 là 1 A. m 1. B. m 0. C. m và m 0. D. m 2. 4 Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của Cm và trục hoành là x 1 32 2 x 2 x 1 m x m 0 x 10 x x m 2 x x m 0 (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt Phươngy trình x3 321 x có hai nghiệm phân biymệ t khác1 1 1 1 4m 0 m 4 (*) 1 1 m 0 m 0 xx12 1 Gọi x3 1 còn xx12, là nghiệm phương trình nên theo Vi-et ta có . x12 x m 2 2 2 22 2 Vậy x1 x 2 x 3 4 xx12 14 x1 x 2 2 x 1 x 2 3 0 m 1 (thỏa (*)) Vậy chọn m 1. Câu 9. Đường thẳng d:4 y x cắt đồ thị hàm số y x32 2 mx m 3 x 4 tại 3 điểm phân biệt AB 0;4 , và C sao cho diện tích tam giác MBC bằng 4, với M 1;3 . Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 14
15. A. m 3. . B. m 2 hoặc m 3 . C. m 2 hoặc m 3 . D. m 2 hoặc m 3 . Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị C : x32 2 mx m 3 x 4 4 . x 0 32 x 2 mx m 2 x 0 2 . x x 2 mx m 2 0 1 Với x 0, ta có giao điểm là A 0;4 .. d cắt C tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. 0 m 2 0 (*) . 2 mm 20 Ta gọi các giao điểm của d và C lần lượt là A, B xBBCC ; x 2 , C x ; x 2 với xxBC, là nghiệm của phương trình (1). xBC x 2 m Theo định lí Viet, ta có: . xBC.2 x m 1 Ta có diện tích của tam giác MBC là S  BC  d M,4 BC . 2 Phương trình d được viết lại là: d: y x 4 x y 4 0. 1 3 4 Mà d M, BC d M , d 2 . 112 2 88 Do đó: BC BC 2 32 . d M, BC 2 2 2 2 2 Ta lại có: BC xCBCBCB x y y 2 x x 32 . 22 xBCBC x 4 x . x 16 2 m 4 m 2 16 . 4m2 4 m 24 0 m 3  m 2 . Đối chiếu với điều kiện, loại đi giá trị m 2 .  Sự tương giao của đồ thị hàm trùng phương Câu 10. Tìm số giao điểm n của đồ thị hàm số y x42 83 x và đường thẳng y 10. A. n 3. B. n 0 . C. n 2 . D. n 4 . Lời giải 15
16. Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm: x4 8 x 2 3 10 x 4 8 x 2 7 0 x 4 23 . Vậy có 2 giao điểm. Câu 11. Cho hàm số trùng phương y f x có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x m có 4 nghiệm phân biệt là A. 11 m . B. 01 m . C. 01 m . D. m 0 . Lời giải Phương trình f x m ( *) Số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung của đồ thị hàm số y f() x và ym . Đường thẳng ym là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng m . Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi đồ thị hàm số y f() x và đường thẳng ym có 4 điểm chung Dựa vào đồ thị ta có 01 m Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x42 2 x 3 2 m 0 có 4 nghiệm phân biệt: 3 3 3 A. 34 m . B. m 2 . C. 2 m . D. 2 m . 2 2 2 Lời giải Chọn C f x x42 2 x 3 2 m . Số nghiệm của phương trình bằng số điểm chung của đồ thị y f x và đường thẳng ym 2 . Đường thẳng ym 2 là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng . Xét hàm số y f x x42 23 x Ta có y 44 x32 x . x 1 Khi đó y 0 khi x 0 . x 1 ảng biến thiên. 16
17. . Phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi đồ thị và đường thẳng có 4 điểm chung. 3 Từ bảng biến thiên ta thấy 3 2mm 4 2 . 2 4 2 2 Câu 13. Cho hàm số y x 2 m 1 x m 3 m có đồ thị là Cm . Tất cả giá trị của m để đồ thị Cm cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt là 5 51   1 1 A. m 1; . B. m 1;   . C. m  0;3 . D. m ;3 . 2 25  5 5 Lời giải: Chọn đáp án C. Tương tự như bài toán trên ta xét phương trình hoành độ giao điểm ta có x4 2 m 1 x 2 m 2 3 m 0 (*) Đặt t x2;0 t . Phương trình (*) trở thành t22 2 m 1 t m 3 m 0 (**) Đồ thị hàm số C cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt phương trình (**) có một nghiệm kép dương hoặc hai nghiệm phân biệt trái dấu. * TH1: Phương trình (**) có một nghiệm kép dương: 2 '0 m 1 m2 3 m 0 5m 1 0 1 b 21 m m 0 0 m 1 5 2a 2 * TH2: Phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt trái dấu. ' 0 1 5m 1 0 m 03 m c 2 5 0 mm 30 a 03 m  1 Kết hợp hai trường hợp thì ta kết luận m  0;3  thì thỏa mãn yêu cầu đề bài 5 ax b y f x ym 2  Sự tương giao của đồ thị hàm số y cx d x 1 Câu 14. Tọa độ giao điểm của ():Cy và (d ) : y x 1 là: 21x A. 1;0 ,( 1;2) . B. 1; 2 . C. 1;1 ,( 1;2) . D. 1;0 ,(1;2) . Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm: 17
18. x 1 2 x 1 x 1 2x2 2 0 x 1 ( 1;2) 1 1 . x x x 1 (1;0) 2 2 x 1 Câu 15. Đồ thị C của hàm số y và đường thẳng d : yx 21 cắt nhau tại hai điểm A và B x 1 khi đó độ dài đoạn AB bằng? A. 23. B. 22. C. 25. D. 5 . Lời giải Chọn C Tập xác định D \1  . Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị là nghiệm của phương trình. x 1 x 1 x 0 21x 2 . x 1 xx20 x 2 Với xA 0 0; 1 . Với xB 2 2;3 . Do đó AB 222 4 2 5 . Câu 16. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng yx 1 cắt đồ thị hàm số 2xm y tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. x 1 A. m 1. B. m 1. C. 21 m . D. 21 m . Lời giải: Chọn C 2xm Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng yx 1 và đồ thị hàm số y là x 1 2xm x 1 (*) x 1 Điều kiện : x 1 * x2 2 x m 1 0 2xm Đường thẳng yx 1 cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và x 1 chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt khác 1. 12 ( m 1) 0 gm 1 1 2 1 0 m 2 Ta có S 20 m 1 Pm 10 18
19. x 5 Câu 17. Tổng các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng yx cắt đồ thị hàm số y tại hai xm điểm A và B sao cho AB 42 là. A. 7 . B. 2 . C. 5 . D. 5 . Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm: x x m x 5 f x x2 m 1 x 5 0 . xm xm Đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm A và B khi và chỉ khi: 2 f 0 mm 2 19 0 . fm 0 m 5 Gọi: A x1;,; x 1 B x 2 x 2 . Với xx12; là 2 nghiệm của phương trình fx( ) 0 . 2 2 m 7 AB 4 2 x2 x 1 4 x 1 x 2 4 x 1 x 2 16 m 2 m 35 0 . m 5 So với điều kiện ta nhận m 7 . 21x Câu 18. Cho hàm số y C và đường thẳng d: y x m. Tìm m để C cắt d tại hai điểm x 1 m m phân biệt A , B sao cho OAB vuông tại O . 2 1 4 1 A. m B. m . C. m . D. m . 3 . 3 3 3 Lời giải Chọn A 21x Phương trình hoành độ giao điểm xm với x 1. x 1 g x x2 m 1 x m 1 0(*). 0 C cắt dm tại hai điểm phân biệt g 10 mm2 6 5 0 m 1 hoặc m 5 . 1 mm 1 1 0 x12 x m 1 Theo Vi-et ta có: . x12 x m 1 Gọi A x11; x m và B x22; x m . 19
20. Khi đó: OA x11; x m và OB x22; x m . OAB vuông tại O OAOB. 0 x x x m x m 0 1 2 1 2 . 2 20x1 x 2 m x 1 x 2 m . 2 2 m 1 m m 1 m2 0 3 m 2 0 m . 3 20