Giáo án Toán 12 - Bài 2: Cực trị hàm số

Nội dung tài liệu: Giáo án Toán 12 - Bài 2: Cực trị hàm số

1. Bài 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ I/ Kiến thức trọng tâm 1/ Định nghĩa: Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (có thể là ; là ) và điểm y f() x a; b a b x0 a; b Nếu tồn tại sao cho ta nói hàm số đạt cực đại h 0 f x f x0 ,;\  x x 0 h x 0 h x 0  y f() x tại . x0 Nếu tồn tại sao cho ta nói hàm số đạt cực tiểu h 0 f x f x0 ,;\  x x 0 h x 0 h x 0  y f() x tại . x0 Chú ý: a. Nếu hàm số f( x ) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số ; f x0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fC Ð f CT , còn điểm Mx 0; fx 0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. b. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. c. Nếu hàm số y fx( ) có đạo hàm trên khoảng (a ; b ) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f x0 0 . 2/ Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý 1: Nếu đổi dấu tư âm sang dương khi đi qua điểm (theo chiều tăng) thı ham số đaṭ cưc̣ tiểu taị f () x ̀ x x ̀ ̀ y f() x điểm x . Nếu đổi dấu tư dương sang âm khi đi qua điểm (theo chiều tăng) thı ham số đaṭ cưc̣ đaị taị f () x ̀ x x ̀ ̀ y f() x điểm x . Định lí 2: Giả sử co đaọ ham cấp trong khoảng vơi Khi đó: y f() x ́ ̀ 2 (x h ; x h ), ́ h 0. Nếu thı la điểm cưc̣ tiểu. y ( x ) 0, y ( x ) 0 ̀ x ̀ Nếu thı la điểm cưc̣ đaị. y ( xo ) 0, y ( x o ) 0 ̀ x ̀ 3/ Quy tắc tìm cực trị
2. Quy tắ c I: Bướ c 1. Tı̀m tâp̣ xác điṇ h D của hàm số. Bươc 2. Tınh đaọ ham Tım cac điểm ma taị đo đaọ ham bằng 0 hoăc̣ không ́ ́ ̀ y f ( x ). ̀ ́ xi, ( i 1,2,3,..., n ) ̀ ́ ̀ xác điṇ h. Bươc 3. Sắp xếp cac điểm theo thư tư ̣ tăng dần va lâp̣ bang biến thiên. ́ ́ xi ́ ̀ ̉ Bướ c 4. Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cưc̣ tri ̣(dưạ vào nôị dung điṇ h lý 1). Quy tắ c II: Bướ c 1. Tı̀m tâp̣ xác điṇ h D của hàm số. Bươc 2. Tınh đaọ ham Giai phương trınh va kı hiêụ la cac nghiêṃ ́ ́ ̀ y f ( x ). ̉ ̀ f ( x ) 0 ̀ ́ xi, ( i 1,2,3,..., n ) ̀ ́ của nó. Bươc 3. Tınh va ́ ́ f () x ̀ f ( xi ). Bươc 4. Dưạ vao dấu cua suy ra tınh chất cưc̣ tri ̣cua điểm ́ ̀ ̉ y () xi ́ ̉ xi : + Nếu thı ham số đaṭ cưc̣ đaị taị điểm f ( xi ) 0 ̀ ̀ xi . + Nếu thı ham số đaṭ cưc̣ tiểu taị điểm f ( xi ) 0 ̀ ̀ xi . II/ Các ví dụ: Câu 1. Cho hàm số y fx có bảng biến thiên như sau Hàm số y fx đạt cực tiểu tại điểm A. y 1. B. x 0 . C. y 0 . D. x 1. Lời giải Chọn B Nhìn vào BBT suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 . Câu 2. Cho hàm số f x thỏa mãn f x x2 x 1 ,  x . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. f x có hai điểm cực trị. B. f x không có cực trị. C. f x đạt cực tiểu tại x 1. D. f x đạt cực tiểu tại x 0 . Lời giải Chọn C 2 x 0 Ta có fx 0 xx 1 0 x 1 BBT:
3. Dựa vào BBT, ta thấy hàm số f x đạt cực tiểu tại x 1. Câu 3. Hàm số yx 3 3 x 2 2 đạt cực tiểu tại: A. x 2. B. x 2 . C. x 0 . D. x 1. Lời giải Chọn B Ta có: y 3 x2 6 x . x 0 y 0 x 2 Khi đó bảng biến thiên của hàm số là: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x 2 . x2 3 x 3 Câu 4. Gọi M , n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số y . Khi đó giá trị của biểu x 2 thức M2 2 n bằng A. 7. B. 9. C. 8. D. 6. Lời giải Chọn A x2 4 x 3 x 1 y 1 1 m 2  Đạo hàm y 2 ; y 0 xx 4 3 0 . x 2 x 3 y 3 3 M  Bảng biến thiên:  Khi đó M2 2 n 3 2 2.1 7 . Câu 5. Gọi A , B , C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y 2 x4 4 x 2 1. Hỏi diện tích tam giác ABC là bao nhiêu?
4. A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn D Ta có y 8 x3 8 x . x 0 y 1 3 y 0 8 xx 8 0 x 1 y 1 . x 1 y 1 Khi đó, ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0; 1 , B 1; 1 , C 1; 1 . Lúc đó; AB 5 , AC 5 , BC 2 . AB AC BC Nửa chu vi của tam giác ABC là; p 5 1. 2 Áp dụng công thức Herong; ta có diện tích tam giác ABC là; SABC ppABpAC pBC 151551551522 14 1 3 5 2 Câu 6. Hàm số y x x x 3 x 2019 m m đạt cực tiểu tại điểm: 4 3 2 A. x 3 . B. x 3 . C. x 1 . D. x 1. Lời giải TXĐ: D . 3 2 3 2 x 3 yxx 5 x 3 ; y 0 xxx 5 3 0 . x 1 Hàm số đạt cực tiểu tại x 3. Câu 7. Điểm cực đại của đồ thị hàm số yx 3 12 x 20 là A. 2;0 . B. 2; 4 . C. 2;36 . D. 2;36 . Lời giải Chọn D Tập xác định: D . 2 2 x 2 Đạo hàm cấp một: y 3 x 12 ; y 0 3 x 12 0 . x 2
5. Đạo hàm cấp hai: y 6 x . Ta có: y 2 12 0 nên x 2 là điểm cực tiểu của hàm số. y 2 12 0 nên x 2 là điểm cực đại của hàm số. Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là 2;36 . Câu 8. Cho hàm số y m1 x4 mx 2 3 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị. A. m ;1  0; . B. m 1;0 . C. m ;1  0; . D. m ;1  0; . Lời giải Chọn D m 1 Để hàm số có ba điểm cực trị thì m 1 m 0 . Vậy m ;1  0; . m 0 Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số yx 33 x 2 2 mxm có cực đại, cực tiểu. 3 3 3 3 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C 3 2 2 Hàm số yx 3 x 2 mxm xác định trên và có đạo hàm y 3 x 6 xm 2 . Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt, tức là y 0 3 9 6m 0 m . 2 Câu 10. Tìm giá trị của m để hàm số yx 33 mx 2 2 m 1 x 2 đạt cực trị tại x 1. A. m 2 . B. m 1. C. Không tồn tại m . D. m 1. Lời giải Chọn C Tập xác định D . y 3 x2 6 mx 2 m 1 Ta có . y 6 xm 6 Hàm số đạt cực trị tại x 1 y 1 0 m 1. Thay m 1 vào y ta được y 3 x2 6 x 3. Cho y 0 x 1 (nghiệm kép). Suy ra hàm số không đạt cực trị tại x 1. loại m 1. III/ Bài tập tự luyện Câu 1. Biết đồ thị hàm số yx 3 3 x 1 có hai điểm cực trị A , B . Khi đó phương trình đường thẳng AB là
6. A. y 2 x 1. B. y x 2. C. y x 2 . D. y 2 x 1. Câu 2. Hàm số yx 2 4 x 3 có điểm cực tiểu là A. x 4 . B. x 0 . C. y 1. D. x 2 . Câu 3. Đồ thị của hàm số yx 33 x 2 9 x 1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ? A. N 1;12 . B. M 1; 12 . C. P 1;0 D. Q 0; 1 . 3 Câu 4. Gọi x1 là điểm cực đại, x2 là điểm cực tiểu của hàm số y x 3 x 2. Tính x1 2 x 2 . A. 2. B. 1. C. 1. D. 0. 1 Câu 5. Gọi Ax ; y , Bx ; y là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 4 xx 2 4. 1 1 2 2 3 y y P 1 2 x x Tính 1 2 . 34 17 17 34 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 6. Cho hàm số y fx( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đạt cực đại tại? y 2 -1 1 x O -2 A. x 2 . B. x 0 . C. y 1 . D. x 1 . 2 3 Câu 7. Cho hàm số y fx liên tục trên có fxxx 2 3 1 x 2 4 x . Số điểm cực đại của hàm số y fx là A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1. Câu 8. Cho hàm số y fx có fx 2 xx 1 2 1 x 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số đã cho không có cực trị. B. Hàm số đã cho có đúng một cực trị. C. Hàm số đã cho có hai cực trị. D. Hàm số đã cho có ba cực trị. Câu 9. Cho hàm số y fx có đạo hàm trên và đồ thị hàm số y f x trên như hình vẽ. Mệnh đề nào đúng?
7. A. Hàm số y fx có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. B. Hàm số y fx có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. C. Hàm số y fx có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. D. Hàm số y fx có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. Câu 10. Cho hàm số y fx . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới. Hàm số y fx 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 7. C. 4. D. 3. Câu 11. Tìm số điểm cực trị của hàm số y sin x cos2 x trên 0;2 . A. 4. B. 1. C. 2 . D. 3. Câu 12. Cho hàm số y sin 2 x . Kết luận nào sau đây là đúng? A. x k là các điểm cực tiểu 2 3 B. x k là các điểm cực đại, x k là các điểm cực tiểu 4 4 C. x k là các điểm cực đại 2 3 D. x k là các điểm cực đại, x k là các điểm cực tiểu 4 4 Câu 13. Cho hàm số y x4 ax 2 b . Biết rằng đồ thị hàm số nhận điểm A 1;4 là điểm cực tiểu. Tổng 2a b bằng A. 1. B. 0 . C. 1. D. 2 .
8. Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số yxm 9 2 xm 7 2 4 x 6 7 đạt cực tiểu tại x 0 . A. 3. B. 4 . C. Vô số. D. 5. 1 Câu 15. Tìm tham số m để hàm số y xmx3 2 m2 x 2018 không có cực trị. 3 A. m 1 hoặc m 2. B. m 1. C. m 2. D. 1m 2 . Câu 16. Hàm số yxmx 4 1 2 3 m có đúng một cực trị khi và chỉ khi A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1. Câu 17. Cho hàm số: y 1 mxmx 4 2 2 m 1. Tìm m để đồ thị hàm số có đúng một cực trị A. m 0 . B. m 0 hoặc m 1. C. m 0 hoặc m 1. D. m 1. Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số yx 33 x 2 mx 1 đạt cực tiểu tại x 2 . A. m 0. B. m 4 . C. 0 m 4 . D. 0 m 4 . Câu 19. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 2 m 1 xm 3 song song với đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số yx 3 3 x 2 1 3 1 3 1 A. m . B. m . C. m . D. m . 4 2 4 2 Câu 20. Đồ thị của hàm số yx 33 x 2 9 x 1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB . A. P 1;0 . B. M 0; 1 . C. N 1; 10 . D. Q 1;10 .