Tổng hợp 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức - Nguyễn Đức Hàn

Nội dung tài liệu: Tổng hợp 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức - Nguyễn Đức Hàn

1. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý A B A B 0 1/Định nghĩa A B A B 0 2/Tính chất + A>B B A + A>B và B >C A C + A>B A+C >B + C + A>B và C > D A+C > B + D + A>B và C > 0 A.C > B.C + A>B và C < 0 A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D 0 < A.C < B.D + A > B > 0 A n > B n n + A > B A n > B n với n lẻ + A > B A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1 A m < A n 1 1 +A 0 A B 3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2 0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + An 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + - A < A = A + A B A B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + A B A B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0) 1 Sưu tầm và tuyển chọn
2. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 0 với M Ví dụ 1  x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2 2xy – 2xz + 2yz 2 2 2 c) x + y + z +3 2 (x + y + z) Giải: 1 a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx) 2 1 = (x y) 2 (x z) 2 (y z) 2  0 đúng với mọi x;y;z R 2 Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 2 0 đúng với mọi x;y;z R Vậy x 2 + y 2 + z 2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2+ (y-1) 2+(z-1) 2 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 a 2 b 2 a b a b c a b c a) ; b) c) Hãy tổng quát bài toán 2 2 3 3 Giải: 2 a 2 b 2 a b a) Ta xét hiệu 2 2 2 2 2 2 2 a b a 2ab b 1 2 2 2 2 1 2 = = 2a 2b a b 2ab = a b 0 4 4 4 4 2 a 2 b 2 a b Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a=b 2 2 b)Ta xét hiệu 2 2 2 2 a b c a b c 1 2 2 2 =  a b b c c a  0 .Vậy 3 3 9 2 a 2 b 2 c 2 a b c 3 3 2 Sưu tầm và tuyển chọn
3. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com Dấu bằng xảy ra khi a = b =c c)Tổng quát 2 a 2 a 2 .... a 2 a a .... a 1 2 n 1 2 n n n Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 + .+(E+F) 2 Bước 3:Kết luận A B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Giải: 2 2 2 2 m 2 m 2 m 2 m mn n mp p mq q m 1 0 4 4 4 4 2 2 2 2 m m m m n p q 1 0 (luôn đúng) 2 2 2 2 m n 0 m 2 n m 2 p 0 m p m 2 Dấu bằng xảy ra khi 2 m 2 q 0 m n p q 1 2 q m 2 1 0 m 2 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : a 4 b 4 c 4 abc(a b c) Giải: Ta có : a 4 b 4 c 4 abc(a b c) , a,b,c 0 a 4 b 4 c 4 a 2bc b 2 ac c 2 ab 0 2a 4 2b 4 2c 4 2a 2bc 2b 2 ac 2c 2 ab 0 2 2 2 a 2 b 2 2a 2b 2 b 2 c 2 2b 2c 2 c 2 a 2 2a 2c 2 2a 2bc 2b 2 ac 2c 2 ab 0 2 2 2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 (a 2b 2 b 2c 2 2b 2 ac) (b 2c 2 c 2 a 2 2c 2 ab) (a 2b 2 c 2 a 2 2a 2 ab) 0 2 2 2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 ab bc 2 bc ac 2 ab ac 2 0 Đúng với mọi a, b, c. Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. 3 Sưu tầm và tuyển chọn
4. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com Nếu A < B C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B . Chú ý các hằng đẳng thức sau: A B 2 A2 2AB B 2 A B C 2 A2 B 2 C 2 2AB 2AC 2BC A B 3 A3 3A2 B 3AB 2 B 3 Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng b 2 a) a 2 ab 4 b) a 2 b 2 1 ab a b c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e Giải: b 2 a) a 2 ab 4a 2 b 2 4ab 4a 2 4a b 2 0 2a b 2 0 4 b 2 (BĐT này luôn đúng). Vậy a 2 ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) 4 b) a 2 b 2 1 ab a b 2(a 2 b 2 1 2(ab a b) a 2 2ab b 2 a 2 2a 1 b 2 2b 1 0 (a b) 2 (a 1) 2 (b 1) 2 0 Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy a 2 b 2 1 ab a b . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c) a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e 4 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 4a b c d e a 2 4ab 4b 2 a 2 4ac 4c 2 a 2 4ad 4d 2 a 2 4ac 4c 2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a 2c 2 0 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a10 b10 a 2 b 2 a8 b8 a 4 b 4 Giải: a10 b10 a 2 b 2 a8 b8 a 4 b 4 a12 a10b 2 a 2b10 b12 a12 a8b 4 a 4b8 b12 a8b 2 a 2 b 2 a 2b8 b 2 a 2 0 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0 Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh x 2 y 2 Ví dụ 3: cho x.y =1 và x y Chứng minh 2 2 x y x 2 y 2 Giải: 2 2 vì :x y nên x- y  0 x2+y2 2 2 ( x-y) x y x2+y2- 2 2 x+ 2 2 y 0 x2+y2+2- 2 2 x+ 2 2 y -2 0 x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+ 2 2 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- 2 )2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)=9x 2 y 2 y 2 6xy 2y 1 0 x, y R b/ a 2 b 2 c 2 a b c (gợi ý :bình phương 2 vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: 4 Sưu tầm và tuyển chọn
5. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com x.y.z 1 1 1 1 x y z x y z Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( )=x+y+z - ( ) 0 (vì < x+y+z x y z x y z x y z theo gt) 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương. Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1 a b c Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 1 2 a b b c a c Giải: 1 1 a a Ta có : a b a b c (1) a b a b c a b a b c b b c c Tương tự ta có : (2) , (3) b c a b c a c a b c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : a b c 1 (*) a b b c a c a a c Ta có : a a b (4) a b a b c b a b c c b Tương tự : (5) , (6) b c a b c c a a b c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : a b c 2 (**) a b b c a c a b c Từ (*) và (**) , ta được : 1 2 (đpcm) a b b c a c Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) x 2 y 2 2xy b) x 2 y 2 xy dấu( = ) khi x = y = 0 c) x y 2 4xy a b d) 2 b a Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 4xy Tacó a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac 5 Sưu tầm và tuyển chọn
6. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com a b 2 b c 2 c a 2 64a 2b 2c 2 8abc 2 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : a,b 0 , ta có: a b 2 ab . Dấu “=” xảy ra khi a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : n a1 a2 ... an n a1a2 ..an n a1 a2 ... an a1a2 ..an n Dấu “=” xảy ra khi a1 a2 ... an Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm. 2 x 4 x 2 x 3 Ví dụ 1 : Giải phương trình : 4 x 1 2 x 1 2 x 4 x 2 a 2 x Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt ,a,b 0 x b 4 a b 1 3 Khi đó phương trình có dạng : b 1 a 1 a b 2 Vế trái của phương trình: a b 1 1 1 1 3 b 1 a 1 a b a b 1 a b 1 a b 1 3 b 1 a 1 a b 1 1 1 a b c 3 b 1 a 1 a b 1 1 1  b 1 a 1 a b  3 b 1 a 1 a b 1 3 3 3 3 a 1 b 1 a b . 3 2 3 a 1 b 1 a b 2 Vậy phương trình tương đương với : a 1 b 1 a b a b 1 2 x 4 x 1 x 0 . x y z Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P = x 1 y 1 z 1 1 1 1 Giải : P = 3- ( ) = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì x 1 y 1 z 1 6 Sưu tầm và tuyển chọn
7. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com a b c 3 3 abc 1 1 1 1 3 3 a b c abc 1 1 1 a b c 9 a b c 1 1 1 9 a b c a b c 1 1 1 9 9 9 3 Suy ra Q = -Q nên P = 3 – Q 3- = x 1 y 1 z 1 4 4 4 4 Vậy max P = 3 .khi x = y = z = 1 . 4 3 1 1 1 a b c Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng: a 2 bc b 2 ac c 2 ab 2abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 2 1 1 1 1 a 2 bc 2a bc a 2 bc a bc 2 ab ac Tương tự : 2 1 1 1 1 b 2 ac b ac 2 bc ab 2 1 1 1 1 c 2 ab c ab 2 ac bc 2 2 2 a b c a 2 bc b 2 ac c 2 ab 2abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. a b c Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : 3 (*) b c a c a b a b c Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c abc 3 3 (1) b c a c a b a b c (b c a)(c a b)(a b c) Cũng theo bất đẳng thức Côsi : 1 (b c a)(c a b) (b c a c a b) c (2) 2 Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được (b c a)(c a b)(a b c) abc abc 1 (3) (b c a)(c a b)(a b c) Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều . Ví dụ 5: 2 0 a b c x y z a c 2 Cho . Chứng minh rằng: by cz x y z 0 x, y, z a b c 4ac Giải: Đặt f (x) x 2 (a c)x ac 0 có 2 nghiệm a,c Mà: a b c f (b) 0 b 2 (a c)b ac 0 7 Sưu tầm và tuyển chọn
8. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com ac y b a c yb ac a c y b b x y z xa ac (yb ac ) (zc ac ) a c x a c y (a c)z a b c x y z xa yb zc ac a c x y z a b c Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x y z 2 xa yb zc ac a c x y z a b c x y z 2 2 4 xa yb zc ac a c x y z a b c 2 x y z a c 2 xa yb zc ac x y z (đpcm) a b c 4ac Phương pháp 5 Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: Cho 2n số thực ( n 2): a1 ,a2 ,...an ,b1 ,b2 ,...,bn . Ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 ... anbn ) (a1 a2 ... an )(b1 b2 ... bn ) a a a Dấu “=” xảy ra khi 1 2 .... n b1 b2 bn b b b Hay 1 2 .... n (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 ) a1 a2 an Chứng minh: a a 2 a 2 ... a 2 Đặt 1 2 n 2 2 2 b b1 b2 ... bn • Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng. • Nếu a,b > 0: a b Đặt: i ,  i i 1,2,...n , Thế thì: 2 2 ... 2  2  2 ...  2 i a i b 1 2 n 1 2 n 1 Mặt khác:  2  2 i i 2 i i 1 1   ...  ( 2 2 .... 2 ) ( 2  2 ...  2 ) 1 Suy ra: 1 1 2 2 n n 2 1 2 n 2 1 2 n a1b1 a2b2 ... anbn a.b Lại có: a1b1 a2b2 ... anbn a1b1 a2b2 ... anbn 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra: (a1b1 a2b2 ... anbn ) (a1 a2 ... an )(b1 b2 ... bn ) i  i i 1,2,...,n a a a Dấu”=” xảy ra 1 2 .... n 11.... n  n cùng dáu b1 b2 bn Ví dụ 1 : 1 Chứng minh rằng: x R , ta có: sin 8 x cos8 x 8 8 Sưu tầm và tuyển chọn
9. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com Giải: Ta có: sin 2 x cos 2 x 1,x R Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: 1 sin 2 x.1 cos 2 x.1 sin 4 x cos 4 x 12 12 1 sin 4 x cos 4 x 2 1 2 sin 4 x cos 4 x 4 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa: 1 2 sin 4 x.1 cos 4 x.1 4 1 sin 8 x cos8 x 12 12 4 1 sin 4 x cos 4 x 8 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của: P 1 tan A.tan B 1 tan B.tan C 1 tan C.tan A Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: (ai ,bi ,...,ci )(i 1,2,....,m) Thế thì: 2 m m m m m m m m m (a1a2 ...am b1b2 ...bm ... c1c2 ...cm ) (a1 b1 ... c1 )(a2 b2 ... c2 )(am bm ... cm ) Dấu”=” xảy ra  bô số (a,b, .,c) sao cho: với mỗi i = 1,2, ,m thì  ti sao cho: a ti ai ,b tibi ,...,c ti ci , Hay a1 : b1 :...: c1 a2 : b2 :...: c2 an : bn :...cn a 2 a 2 ... a 2 3 Ví dụ 1: Cho 1 2 n n Z,n 2 a a a Chứng minh rằng: 1 2 .... n 2 2 3 n 1 Giải: * 1 1 1 k N ta có: 2 k 2 1 1 1 k k k 4 2 2 1 1 1 k 2 1 1 k k 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 22 32 n 2 3 5 5 7 1 1 2 2 2 2 n n 2 2 1 1 2 3 1 3 2 n 2 Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski: 9 Sưu tầm và tuyển chọn
10. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com a a a 1 1 1 2 1 2 .... n a 2 a 2 ... a 2 ... 3 2 (đpcm) 2 3 n 1 1 2 n 22 32 n 2 3 Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: (a c) 2 (b d) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd a 2 b 2 . c 2 d 2 mà a c 2 b d 2 a 2 b 2 2 ac bd c 2 d 2 a 2 b 2 2 a 2 b 2 . c 2 d 2 c 2 d 2 (a c) 2 (b d) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 Ví dụ 3: Chứng minh rằng : a 2 b 2 c 2 ab bc ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 12 12 12 (a 2 b 2 c 2 ) 1.a 1.b 1.c 2 3 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 2 ab bc ac a 2 b 2 c 2 ab bc ac Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Phương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sép Kiến thức: a1 a2 ..... an a a ... a b b .... b a b a b .... a b a)Nếu thì 1 2 n . 1 2 n 1 1 2 2 n n . b1 b2 ..... bn n n n a1 a2 .... an Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi b1 b2 .... bn a1 a2 ..... an b)Nếu thì b1 b2 ..... bn a a ... a b b .... b a b a b .... a b 1 2 n . 1 2 n 1 1 2 2 n n n n n a1 a2 .... an Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi b1 b2 .... bn Ví dụ 1: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và sin A.sin 2a sin B.sin 2B sin C.sin 2C 2S . sin A sin B sin C 3 S là diện tích tan giác. chứng minh rằng ABC là tam giác đều. Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư 0 A B C .Suy ra: 2 sin A sin B sin C sin 2a sin 2B sin 2C Áp dụng BĐT trebusep ta được: sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C 3 sin A.sin 2A sin B.sin 2B sin C.sin 2C sin A.sin 2A sin B.sin 2B sin C.sin 2C 1 (sin 2A sin 2B sin 2C) sin A sin B sin C 3 sin A sin B sin C Dấu ‘=’ xảy ra ABC dêu sin 2A sin 2B sin 2C 10 Sưu tầm và tuyển chọn
11. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com Mặt khác: sin 2A sin 2B sin 2C 2sin(A B).cos(A B) sin 2C 2sin Ccos(A B) cosC 2sin Ccos(A B) cos(A B) 2sin C.2sin A.sin B 4sin Asin Bsin C (2Rsin A)(2Rsin B).sin C a.b.sin C 2S (2) Thay (2) vào (1) ta có sin A.sin 2a sin B.sin 2B sin C.sin 2C 2S . sin A sin B sin C 3 Dấu ‘=’ xảy ra ABC đều. Ví dụ 2(HS tự giải): 1 1 1 a/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 9 a b c b/ Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z 4(1 x)(1 y)(1 z) c/ Cho a>0 , b>0, c>0 a b c 3 CMR: b c c a a b 2 1 d)Cho x 0 ,y 0 thỏa mãn 2 x y 1 ;CMR: x+y 5 a3 b3 c3 1 Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a 2 b 2 c 2 1. Chứng minh rằng b c a c a b 2 Giải: 2 2 2 a b c Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c a b c b c a c a b Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a b c a 2 b 2 c 2 a b c 1 3 1 a 2 . b 2 . c 2 . . = . = b c a c a b 3 b c a c a b 3 2 2 a 3 b3 c 3 1 1 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= b c a c a b 2 3 Ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng : a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10 Giải: Ta có a 2 b 2 2ab c 2 d 2 2cd 1 1 1 Do abcd =1 nên cd = (dùng x ) ab x 2 1 Ta có a 2 b 2 c 2 2(ab cd) 2(ab ) 4 (1) ab Mặt khác: a b c b c d d c a = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1 1 1 = ab ac bc 2 2 2 ab ac bc Vậy a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10 11 Sưu tầm và tuyển chọn
12. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com Phương pháp7 Bất đẳng thức Bernouli Kiến thức: a)Dạng nguyên thủy: Cho a -1, 1 n Z thì 1 a n 1 na . Dấu ‘=’ xảy ra khi và a 0 chỉ khi n 1 b) Dạng mở rộng: - Cho a > -1, 1 thì 1 a 1 na . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0. a 0 - cho a 1,0 1 thì 1 a 1 na . Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi . 1 Ví dụ 1 : Chứng minh rằng a b b a 1,a,b 0 . Giải - Nếu a 1 hay b 1 thì BĐT luôn đúng - Nếu 0 < a,b < 1 Áp dụng BĐT Bernouli: b b 1 1 a b 1 a a b 1 1 a a a a a a b . a b b Chứng minh tương tự:b a . Suy ra a b b a 1 (đpcm). a b Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng 5 a 5 b5 c 5 a b c . (1) 3 3 Giải 5 5 5 3a 3b 3c 1 3 a b c a b c a b c Áp dụng BĐT Bernouli: 5 5 3a b c 2a 5 b c 2a 1 1 (2) a b c a b c a b c Chứng minh tương tự ta đuợc: 5 3b 5 c a 2b 1 (3) a b c a b c 5 3c 5 a b 2c 1 (4) a b c a b c Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có 5 5 5 3a 3b 3c 3 (đpcm) a b c a b c a b c Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây: “Cho a1 ,a2 ,...an 0;r 1. Chứng minh rằng 12 Sưu tầm và tuyển chọn
13. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com r r r r a1 a2 .... an a1 a2 .... an . n n Dấu ‘=’ a1 a2 .... an .(chứng minh tương tự bài trên). Ví dụ 3: Cho 0 x, y, z 1. Chứng minh rằng 81 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z . 8 Giải Đặt a 2 x ,b 2 y ,c 2 z 1 a,b,c 2 . 1 a 2 a 1 a 2 0 2 a 2 3a 2 0 a 3 (1) a Chứng minh tương tự: 2 b 3 (2) b 2 c 3 (3) c Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được 1 1 1 côsi 1 1 1 9 a b c 2 2 a b c 2 a b c a b c 81 1 1 1 (a b c) (đpcm) 8 a b c Chú ý: Bài toán tổng quát dạng này “ Cho n số x1 , x2 ,...., xn a,b,c 1 Ta luôn có: a b 2 x x x x x x n c c  c 1 c 2 .... c n c 1 c 2 .... c n 4c a b Phương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầu Kiến thức: A>B và B>C thì A>C Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d Chứng minh rằng ab >ad+bc Giải: a c d a c d 0 Tacó (a-c)(b-d) > cd b c d b d c 0 ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều phải chứng minh) 2 2 2 5 1 1 1 1 Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn a b c . Chứng minh 3 a b c abc Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0 1 ac+bc-ab  ( a2+b2+c2) 2 13 Sưu tầm và tuyển chọn
14. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com 5 1 1 1 1 ac+bc-ab  1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có  6 a b c abc Ví dụ 3: Cho 0 1-a-b-c-d Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c 0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh) Ví dụ 4: Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng: 2a 3 2b3 2c 3 3 a 2b b 2c c 2 a Giải: Do a < 1 a 2 1 và Ta có 1 a 2 . 1 b 0 1-b- a 2 + a2 b > 0 1+ a2 b2 > a2 + b mà 0 a 3 , b2 > b3 Từ (1) và (2) 1+ a2 b2 > a 3 +b3 . Vậy a 3 +b3 < 1+ a2 b2 Tương tự b3 + c3 1 b 2c c 3 + a 3 1 c 2 a Cộng các bất đẳng thức ta có : 2a 3 2b3 2c 3 3 a 2b b 2c c 2 a Ví dụ 5 Chứng minh rằng : Nếu a 2 b 2 c 2 d 2 1998 thì ac+bd =1998 Giải: Ta có (ac + bd) 2 + (ad – bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 2abcd a 2 d 2 b 2c 2 - 2abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rõ ràng (ac+bd)2 ac bd 2 ad bc 2 19982 ac bd 1998 Ví dụ 6 (HS tự giải) : a/ Cho các số thực : a1; a2;a3 .;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + .+a2003 =1 2 2 2 2 1 c hứng minh rằng : a + a a .... a 1 2 3 2003 2003 b/ Cho a;b;c 0 thỏa mãn :a+b+c=1 1 1 1 Chứng minh rằng: ( 1).( 1).( 1) 8 a b c Phương pháp 9: Dùng tính chất của tỷ số Kiến thức 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a a a c a – Nếu 1 thì b b b c a a a c b – Nếu 1 thì b b b c 2) Nếu b,d >0 thì từ a c a a c c b d b b d d ` Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 14 Sưu tầm và tuyển chọn
15. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Giải: Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có a a a d 1 (1) a b c a b c a b c d a a Mặt khác : (2) a b c a b c d Từ (1) và (2) ta có a < a < a d (3) a b c d a b c a b c d Tương tự ta có b b b a (4) a b c d b c d a b c d c c b c (5) a b c d c d a a b c d d d d c (6) a b c d d a b a b c d cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có a b c d 1 2 điều phải chứng minh a b c b c d c d a d a b a c a ab cd c Ví dụ 2 :Cho: 0 .Chứng minh rằng < b d b b 2 d 2 d a c ab cd ab ab cd cd c Giải: Từ < b d b 2 d 2 b 2 b 2 d 2 d 2 d a ab cd c Vậy < điều phải chứng minh b b 2 d 2 d Ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 a b tìm giá trị lớn nhất của c d a b a b a a b b Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử : Từ : c d c d c c d d a 1 vì a+b = c+d c b a b a/ Nếu :b 998 thì 998 999 d c d a b 1 999 b/Nếu: b=998 thì a=1 = Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999 c d c d a b 1 Vậy giá trị lớn nhất của =999+ khi a=d=1; c=b=999 c d 999 Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. 15 Sưu tầm và tuyển chọn
16. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 u2 .... un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak ak 1 Khi đó :S = a1 a2 a2 a3 .... an an 1 a1 an 1 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u2....un ak Biến đổi các số hạng uk về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: uk = ak 1 a a a a Khi đó P = 1 . 2 ..... n 1 a2 a3 an 1 an 1 Ví dụ 1: Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng 1 1 1 1 3 .... 2 n 1 n 2 n n 4 1 1 1 Giải: Ta có với k = 1,2,3, ,n-1 n k n n 2n 1 1 1 1 1 n 1 Do đó: ... ... n 1 n 2 2n 2n 2n 2n 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 .... 2 n 1 1 Với n là số nguyên 2 3 n 1 2 2 Giải: Ta có 2 k 1 k k 2 k k k 1 Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có 1 > 2 2 1 1 2 3 2 2 1 2 n 1 n n 1 1 1 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 1 .... 2 n 1 1 2 3 n n 1 2 n Z Ví dụ 3: Chứng minh rằng  2  k 1 k 1 1 1 1 Giải: Ta có k 2 k k 1 k 1 k Cho k chạy từ 2 đến n ta có 16 Sưu tầm và tuyển chọn
17. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com 1 1 1 22 2 1 1 1 32 2 3 ................. 1 1 1 n2 n 1 n 1 1 1 .... 1 22 32 n2 n 1 2 Vậy  2 k 1 k Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức trong tam giác Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a Ví dụ 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 1/ a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải 1/Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có 0 a b c a2 a(b c) 2 0 b a c b b(a c) 2 0 c a b c c(a b) Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2/ Ta có a > b-c a 2 a 2 (b c) 2 > 0 b > a-c b2 b2 (c a)2 > 0 c > a-b c2 c2 (a b)2 0 Nhân vế các bất đẳng thức ta được a2b2c2 a2 b c 2 b2 c a 2 c2 a b 2  a2b2c2 a b c 2 b c a 2 c a b 2 abc a b c . b c a . c a b Ví dụ2 (HS tự giải) 1/ Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng ab bc ca a 2 b 2 c 2 2(ab bc ca) 2/Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng a2 b2 c2 2abc 2 Phương pháp 12: Sử dụng hình học và tọa độ 17 Sưu tầm và tuyển chọn
18. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com Ví dụ 1: Chứng minh rằng : c(a c) c(b c) ab ,a b 0 và b c Giải Trong mặt phẳng Oxy, chọn u ( c, b c) ; v ( a c, c ) Thì u b , v a ; u.v c(a c) c(b c) Hơn nữa: u.v u .v.cos(u, v) u .v c(a c) c(b c) ab (ĐPCM) Ví dụ 2: n n Cho 2n số: xi ; yi , i 1,2,...,n thỏa mãn:  xi  yi 1. Chứng minh rằng: i 1 i 1 n 2 2 2  xi yi i 1 2 Giải: Vẽ hình y MN MK H M 1 x O x + y = 1 Trong mặt phẳng tọa độ, xét: M 1 (x1 , y1 ) : M 2 (x1 x2 , y1 y2 ) ; ; M n (x1  xn , y1  yn ) Giả thiết suy ra M n đường thẳng x + y = 1. Lúc đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 OM 1 x1 y1 , M 1M 2 x2 y2 , M 2 M 3 x3 y3 , , M n 1M n xn yn 2 Và OM M M M M  M M OM OH 1 1 2 2 3 n 1 n n 2 n 2 2 2  xi yi (ĐPCM) i 1 2 Phương pháp 13: Đổi biến số a b c 3 Ví dụ1: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1) b c c a a b 2 Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= y z x ; b = z x y ; c = x y z 2 2 2 y z x z x y x y z 3 ta có (1) 2x 2y 2z 2 18 Sưu tầm và tuyển chọn
19. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com y z x z x y y x z x z y 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 6 x x y y z z x y x z y z y x z x z y Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( 2; 2 ; 2 nên ta có điều x y x z y z phải chứng minh Ví dụ2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng 1 1 1 9 (1) a2 2bc b2 2ac c2 2ab Giải: Đặt x = a 2 2bc ; y = b2 2ac ; z = c2 2ab . Ta có x y z a b c 2 1 1 1 1 (1) 9 Với x+y+z 0 x y z 1 1 1 1 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x y z 3. 3 xyz , và: 3. 3 x y z xyz 1 1 1 1 1 1 x y z . 9 . Mà x+y+z < 1. Vậy 9 (đpcm) x y z x y z 1 Ví dụ3: Cho x 0 , y 0 thỏa mãn 2 x y 1 CMR x y 5 Gợi ý: Đặt x u , y v 2u-v =1 và S = x+y =u 2 v 2 v = 2u-1 thay vào tính S min Bài tập tự giải 25a 16b c 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 8 b c c a a b 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc 1 2 m n p m n p b c c a a b 2 Phương pháp 14: Dùng tam thức bậc hai Kiến thứ: Cho f(x) = ax2 + bx + c Định lí 1: a 0 f(x) > 0,x 0 a 0 f (x) 0,x 0 a 0 f (x) 0,x 0 a 0 f (x) 0,x 0 Định lí 2: 19 Sưu tầm và tuyển chọn
20. 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức_ Nguyễn Đức Hàn www.VNMATH.com Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1 x2 a. f 0 Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm : a. f 0 x1 x2 0 S 2 Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm : a. f 0 x1 x2 0 S 2 x1  x2 Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm f . f  0. x1 x2  Ví dụ 1:Chứng minh rằng f x, y x2 5y 2 4xy 2x 6y 3 0 (1) Giải: Ta có (1) x2 2x 2y 1 5y 2 6y 3 0 2y 1 2 5y 2 6y 3 4y 2 4y 1 5y 2 6y 3 y 1 2 1 0 Vậy f x, y 0 với mọi x, y Ví dụ2: Chứng minh rằng: f x, y x2 y 4 2 x2 2 .y 2 4xy x2 4xy3 Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x2 y 4 2 x2 2 .y 2 4xy x2 4xy3 0 (y 2 1)2.x2 4y 1 y 2 x 4y 2 0 2 2 Ta có 4y 2 1 y 2 4y 2 y 2 1 16y 2 0 2 Vì a = y 2 1 0 vậy f x, y 0 (đpcm) Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n n0 ta thực hiện các bước sau : 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n n0 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 – kết luận BĐT đúng với mọi n n0 20 Sưu tầm và tuyển chọn